Dynamical Systems seminar is supported by RFBR project 20-01-00420-a and Laboratory Poncelet.
Топологическая сопряжённость: различия между версиями
(перенёс) |
м (4 версии) |
||
| (не показаны 3 промежуточные версии 1 участника) | |||
| Строка 1: | Строка 1: | ||
Динамическая система <math>(X,f)</math> называется '''топологически сопряжённой''' динамической системе <math>(Y,g)</math>, если найдётся такой [[гомеоморфизм]] <math>h:X\to Y</math>, что <math>g\circ h= h\circ f</math>, или, что то же самое, | Динамическая система <math>(X,f)</math> называется '''топологически сопряжённой''' динамической системе <math>(Y,g)</math>, если найдётся такой [[w:гомеоморфизм]] <math>h:X\to Y</math>, что <math>g\circ h= h\circ f</math>, или, что то же самое, | ||
:<math>g= h\circ f\circ h^{-1}.</math> | :<math>g= h\circ f\circ h^{-1}.</math> | ||
Иными словами, (непрерывная) замена координат <math>y=h(x)</math> превращает динамику итераций f на X в динамику итераций g на Y. | Иными словами, (непрерывная) замена координат <math>y=h(x)</math> превращает динамику итераций f на X в динамику итераций g на Y. | ||
| Строка 5: | Строка 5: | ||
== Регулярность сопрягающего отображения == | == Регулярность сопрягающего отображения == | ||
Стоит отметить, что даже в случае, когда X и Y — [[многообразие|многообразия]], а отображения f и g гладкие (или даже аналитические), отображение h достаточно часто оказывается всего лишь непрерывным. Так, гладкое сопряжение не может изменить значения [[мультипликатор|мультипликаторов]] в [[неподвижная точка|неподвижной]] или периодической точке; напротив, для [[структурная устойчивость|структурно устойчивых]] [[отображение удвоения|удвоения окружности]] или [[диффеоморфизм Аносова|диффеоморфизма Аносова]] двумерного тора периодические точки всюду плотны, а типичное возмущение изменяет все эти мультипликаторы. | Стоит отметить, что даже в случае, когда X и Y — [[w:многообразие|многообразия]], а отображения f и g гладкие (или даже аналитические), отображение h достаточно часто оказывается всего лишь непрерывным. Так, гладкое сопряжение не может изменить значения [[мультипликатор|мультипликаторов]] в [[неподвижная точка|неподвижной]] или периодической точке; напротив, для [[структурная устойчивость|структурно устойчивых]] [[отображение удвоения|удвоения окружности]] или [[диффеоморфизм Аносова|диффеоморфизма Аносова]] двумерного тора периодические точки всюду плотны, а типичное возмущение изменяет все эти мультипликаторы. | ||
Впрочем, сопряжение [[гиперболическое отображение|гиперболических отображений]] оказывается [[условие Гёльдера|гёльдеровым]], а сопряжение гладких или аналитических диффеоморфизмов окружности с [[Диофантовы и лиувиллевы числа|диофантовым]] [[число вращения|числом вращения]] также оказывается, соответственно, гладким или аналитическим. | Впрочем, сопряжение [[гиперболическое отображение|гиперболических отображений]] оказывается [[w:условие Гёльдера|гёльдеровым]], а сопряжение гладких или аналитических диффеоморфизмов окружности с [[Диофантовы и лиувиллевы числа|диофантовым]] [[число вращения|числом вращения]] также оказывается, соответственно, гладким или аналитическим. | ||
В случае, если отображение h оказывается гёльдеровым, (<math>C^r</math>-)гладким или аналитическим, говорят соответственно о '''гёльдеровой''', '''(<math>C^r</math>-)гладкой''' или '''аналитической''' сопряжённости. | В случае, если отображение h оказывается гёльдеровым, (<math>C^r</math>-)гладким или аналитическим, говорят соответственно о '''гёльдеровой''', '''(<math>C^r</math>-)гладкой''' или '''аналитической''' сопряжённости. | ||
Текущая версия от 15:10, 24 октября 2012
Динамическая система <math>(X,f)</math> называется топологически сопряжённой динамической системе <math>(Y,g)</math>, если найдётся такой w:гомеоморфизм <math>h:X\to Y</math>, что <math>g\circ h= h\circ f</math>, или, что то же самое,
- <math>g= h\circ f\circ h^{-1}.</math>
Иными словами, (непрерывная) замена координат <math>y=h(x)</math> превращает динамику итераций f на X в динамику итераций g на Y.
Регулярность сопрягающего отображения
Стоит отметить, что даже в случае, когда X и Y — многообразия, а отображения f и g гладкие (или даже аналитические), отображение h достаточно часто оказывается всего лишь непрерывным. Так, гладкое сопряжение не может изменить значения мультипликаторов в неподвижной или периодической точке; напротив, для структурно устойчивых удвоения окружности или диффеоморфизма Аносова двумерного тора периодические точки всюду плотны, а типичное возмущение изменяет все эти мультипликаторы.
Впрочем, сопряжение гиперболических отображений оказывается гёльдеровым, а сопряжение гладких или аналитических диффеоморфизмов окружности с диофантовым числом вращения также оказывается, соответственно, гладким или аналитическим.
В случае, если отображение h оказывается гёльдеровым, (<math>C^r</math>-)гладким или аналитическим, говорят соответственно о гёльдеровой, (<math>C^r</math>-)гладкой или аналитической сопряжённости.
Литература
- А. Б. Каток, Б. Хасселблат. Введение в современную теорию динамических систем = Introduction to the Modern Theory of Dynamical Systems / пер. с англ. А. Кононенко при участии С. Ферлегера. — М.: Факториал, 1999. — С. 70-83. — 768 с. — ISBN 5-88688-042-9
