Надстройка

Надстройка над диффеоморфизмом <math>F:M\to M</math> многообразия <math>M</math> — специальным образом построенное векторное поле, динамика которого моделирует динамику итераций <math>F</math>. Процедура построения надстройки является в определённом смысле обратной к взятию отображения Пуанкаре на трансверсальном сечении к потоку, и в определённом смысле обосновывает нестрогое утверждение «эффекты, которые наблюдаются для отображений в размерности <math>k</math>, наблюдаются для потоков в размерности <math>k+1</math>». Обобщением понятия надстройки является специальный поток — в этом случае, время возвращения берётся непостоянным.

Определение

Надстройкой над диффеоморфизмом <math>F:M\to M</math> многообразия <math>M</math> называется поток, заданный векторным полем <math>\partial/\partial t</math> на многообразии

<math>

\tilde{M} = \{(x,t) | x\in M, t\in [0,1]\} / ((x,1)\sim (F(x),0)). </math> Иными словами, многообразием потокая является произведение <math>M\times [0,1]</math>, у которого верхняя и нижняя границы отождествлены по отображению <math>F</math>, а векторное поле просто «вертикально». Тем самым, отображение последования за время <math>n</math> вдоль этого поля соответствует <math>n</math> итерациям <math>F</math> по <math>x</math>-координате.

Эти поток и многообразие можно также представить как фактор многообразия <math>M\times \R</math> с «вертикальным» векторным полем <math>\partial/\partial t</math> по (коммутирующему с этим полем) действию группы <math>\Z</math>, порождённому отображением <math>(x,t)\mapsto (F(x),t+1)</math>.

Обобщением понятия надстройки является специальный поток, в котором время возвращения на сечение <math>M\times \{0\}</math> оказывается функцией. А именно, специальным потоком, соответствующим отображению <math>F</math> и функции <math>\varphi</math> называется поток, заданный векторным полем <math>\partial/\partial t</math> на многообразии

<math>

\tilde{M} = \{(x,t) | x\in M, t\in [0,\varphi(x)]\} / ((x,\varphi(x))\sim (F(x),0)). </math>