Доклад:16.10.2009

Производная Шварца функции f есть выражение от первой, второй и третьей производных функции f, сохраняющееся под действием проективных преобразований. Рассмотрим на цилиндре <math>S^1 \times [0,1]</math> отображение <math>F\colon (x, y)\mapsto (kx,f_x(y))</math> такое, что производная Шварца <math>S(f)</math> функции <math>f_x</math> знакопостоянна по <math>x</math>. Из эргодичности отображения <math>x\mapsto kx</math> знак производной Шварца управляет изменением двойного отношения <math>(0:a:b:1)</math> для любых точек а и b вертикальных отрезков.

Идея 1. Если S(f)<0, существует измеримая фунция g, что точки выше графика у=g(x) притягиваются к верхней окружности цилиндра, а точки ниже графика — к нижнему основанию под действием итераций отображения F. Это становится верно и просто доказуемо в предположении, что g определена не везде, а почти всюду, и кроме того, бассейны притяжения окружностей имеют положительную меру. Кроме того, полученные бассейны перемежаются, но этот результат доказан не будет.

Идея 2. Если S(f)>0, существует асимптотическая (естественная, физическая) мера на цилиндре. Это значит, для почти всякой (в смысле Лебега) орбиты для F временное среднее равно пространственному среднему по асимптотической мере. Почти всякая (в смысле Лебега) орбита равномерно распределена относительно этой меры. Это верно, если показатель Ляпунова оснований окружностей строго положителен.