Dynamical Systems seminar is supported by RFBR project 20-01-00420-a and Laboratory Poncelet.

Курсы в МГУ/Просеминар 2014/26.09.2014/task: различия между версиями

Материал из DSWiki
Перейти к навигацииПерейти к поиску
(выделила определения отдельно)
 
(не показано 6 промежуточных версий этого же участника)
Строка 3: Строка 3:
'''Сумма множеств A и B''' (на прямой или в плоскости) --- это множество точек <math>\{a+b | a \in A, b  
'''Сумма множеств A и B''' (на прямой или в плоскости) --- это множество точек <math>\{a+b | a \in A, b  
\in B\}.</math>
\in B\}.</math>
'''Канторовское множество <math>K_a, 0<a<1.  </math>'''
Возьмем отрезок длины 1 и выкинем из него подинтервал длины a, расположенный по центру. Останутся два отрезка длины <math>(1-a)/2</math>. Из каждого выкинем a-тую часть, то есть интервал  длины <math>a(1-a)/2</math>, расположенный по центру. Продолжаем процесс. Множество, которое останется, называется канторовским множеством <math>K_a</math>. В частности, <math>K_{1/3}</math> --- это обычное канторовское множество.


'''Подкова Смейла'''
'''Подкова Смейла'''


Рассмотрим два прямоугольника <math>D_0 = \{0<x<1, 0.2<y<0.4\} </math>  
Рассмотрим два прямоугольника <math>D_0 = \{0<x<1, 0.2<y<0.4\} </math>  
и <math> D_1 = \{0<x<1, 0.6<y<0.8\} </math>. Пусть отображение <math>T</math> на первом из них задано формулой <math>(x,y) \mapsto ((x+1)/5, 5y-1)</math>, а на втором -- <math>(x,y) \mapsto ((x+1)/5, 5y-3)</math>. На рисунке (слева вверху страницы) изображены прямоугольники <math>D_0, D_1</math> и их образы.
и <math> D_1 = \{0<x<1, 0.6<y<0.8\} </math>. Пусть отображение <math>T</math> на первом из них задано формулой <math>(x,y) \mapsto ((x+1)/5, 5y-1)</math>, а на втором -- <math>(x,y) \mapsto ((x+3)/5, 5y-3)</math>. На рисунке (слева вверху страницы) изображены прямоугольники <math>D_0, D_1</math> и их образы.
Отображение <math>T</math> называется '''подковой Смейла'''. Его итерации определены только на некотором множестве типа канторовского.
Отображение <math>T</math> называется '''подковой Смейла'''. Его итерации определены только на некотором множестве типа канторовского.


== Задачи к лекции 3 "Суммы канторовских множеств" (ЧЕРНОВИК) ==
== Задачи к лекции 3 "Суммы канторовских множеств" ==


1. Есть круг радиуса 1 с центром в нуле, и есть правильный треугольник со стороной 1, у которого  
1. Есть круг радиуса 1 с центром в нуле, и есть правильный треугольник со стороной 1, у которого  
одна из вершин в нуле.  Найдите их сумму.
одна из вершин в нуле.  Найдите их сумму.


2. Опишите алгоритм, который разлагал бы число в цепную дробь. Оцените рост погрешности.  
2. а) Докажите, что для достаточно малых a и b сумма <math>K_a + K_b</math> является интервалом.
 
б) Докажите, что для a и b, достаточно близких к 1, сумма <math>K_a + K_b</math> не содержит интервала.


3. Запишем координаты (x,y) в пятиричной системе счисления. Докажите, что отображение <math>T</math> действует так:
3. Рассмотрим подкову Смейла. Запишем координаты <math>(x,y)</math> точки квадрата в пятеричной системе счисления. Докажите, что отображение подковы <math>T</math> действует так:
<math>
<math>
(0.a_1a_2a_3\dots ;  0.b_1b_2b_3\dots) \mapsto (0.b_1a_1a_2a_3\dots; 0.b_2b_3\dots),
(0.a_1a_2a_3\dots ;  0.b_1b_2b_3\dots) \mapsto (0.b_1a_1a_2a_3\dots; 0.b_2b_3\dots),
</math>
</math>
то есть перекидывает первую цифру в записи y на первое место в записи x.
то есть перекидывает первую цифру в записи y на первое место в записи x.
4. а) Под действием T точка ни разу не посетила верхнюю половину <math>D_0</math>. Что можно сказать о 
пятиричной записи её координат?
б) (''устойчивое слоение'') Пусть под действием <math>T</math> точки p и q сближаются: <math>dist (T^n(p), T^n(q)) \to 0</math>.
Что можно сказать о пятиричной записи их координат?

Текущая версия от 08:04, 27 октября 2014

Определения к лекции 3 "Суммы канторовских множеств"

Сумма множеств A и B (на прямой или в плоскости) --- это множество точек <math>\{a+b | a \in A, b \in B\}.</math>

Канторовское множество <math>K_a, 0<a<1. </math>

Возьмем отрезок длины 1 и выкинем из него подинтервал длины a, расположенный по центру. Останутся два отрезка длины <math>(1-a)/2</math>. Из каждого выкинем a-тую часть, то есть интервал длины <math>a(1-a)/2</math>, расположенный по центру. Продолжаем процесс. Множество, которое останется, называется канторовским множеством <math>K_a</math>. В частности, <math>K_{1/3}</math> --- это обычное канторовское множество.

Подкова Смейла

Рассмотрим два прямоугольника <math>D_0 = \{0<x<1, 0.2<y<0.4\} </math> и <math> D_1 = \{0<x<1, 0.6<y<0.8\} </math>. Пусть отображение <math>T</math> на первом из них задано формулой <math>(x,y) \mapsto ((x+1)/5, 5y-1)</math>, а на втором -- <math>(x,y) \mapsto ((x+3)/5, 5y-3)</math>. На рисунке (слева вверху страницы) изображены прямоугольники <math>D_0, D_1</math> и их образы. Отображение <math>T</math> называется подковой Смейла. Его итерации определены только на некотором множестве типа канторовского.

Задачи к лекции 3 "Суммы канторовских множеств"

1. Есть круг радиуса 1 с центром в нуле, и есть правильный треугольник со стороной 1, у которого одна из вершин в нуле. Найдите их сумму.

2. а) Докажите, что для достаточно малых a и b сумма <math>K_a + K_b</math> является интервалом.

б) Докажите, что для a и b, достаточно близких к 1, сумма <math>K_a + K_b</math> не содержит интервала.

3. Рассмотрим подкову Смейла. Запишем координаты <math>(x,y)</math> точки квадрата в пятеричной системе счисления. Докажите, что отображение подковы <math>T</math> действует так: <math> (0.a_1a_2a_3\dots ; 0.b_1b_2b_3\dots) \mapsto (0.b_1a_1a_2a_3\dots; 0.b_2b_3\dots), </math> то есть перекидывает первую цифру в записи y на первое место в записи x.

Источник — http://www.dyn-sys.org/w/index.php?title=Курсы_в_МГУ/Просеминар_2014/26.09.2014/task&oldid=2055