Доклад:18.12.2009

Доклад посвящён доказательству гипотезы Иттаи Кана. Она предполагает, что существует открытое множество отображений цилиндра в себя, сохраняющих границу и таких, что почти все точки по мере Лебега под действием итераций каждого отображения из области притягиваются к границе цилиндра.

В 1994 году Иттаи Кан привел пример гладкого отображения цилиндра в себя, сохраняющего границу, обладающего следующими свойствами: для почти всех по мере Лебега точек их орбиты притягиваются к верхней или нижней окружности цилиндра, при этом бассейны притяжения каждой из окружностей перемежаются. А именно, что в любой окрестности точки мера точек, притягивающихся к каждой из границ цилиндра, строго положительна и в сумме составляет полную меру Лебега. В той же работе Иттаи Кан предложил стратегию по доказательству этой гипотезы: нужно возмутить построенный пример и показать, что указанные свойства сохранятся при возмущении. Действительно, возмущенное отображение при должной замене координат приводят нас у уже построенному примеру. К сожалению, при этом замена координат не является гладкой по всему пространству и мы попадаем в ситуацию кошмара Фубини.

В докладе будет описаны результаты работы 2008 года Ю.С. Ильяшенко, В. Клепцина и автора доклада о том, что при возмущении примера, построенного Иттаи Каном, свойство перемежаемости аттракторов и их положительная мера сохраняется. В конце доклада мы обсудим доказательство недостающего звена, а именно то, что при возмущении мера точек, не притягивающихся ни к одной из граничных окружностей, равна 0. Последнее утверждение было доказано совсем недавно и еще не опубликовано.

Никаких специальных знаний не требуется. Но желательно хотя бы в общих чертах вспомнить доклад Стаса Минкова на семинаре 16 октября.