Просмотр кода страницы Курсы в МГУ/Просеминар 2014/31.10.2014/task

==Удвоение окружности и символическая динамика==

Рассмотрим отображение удвоения окружности <math>T: x \rightarrowtail 2x</math> (mod 1). Разобьём окружность на две части <math>M_0 = [0, \frac{1}{2})</math> и <math>M_1 = [\frac{1}{2}, 1)</math>. Каждой точке окружности можно сопоставить ''судьбу'' -- последовательность из нулей и единиц, бесконечную вправо -- следующим образом: если <math>f^{\circ k}(x) \in M_{i_k}</math>, то на <math>(k+1)</math>-ом месте мы пишем число <math>i_k</math>. Пространство  последовательностей из нулей и единиц, бесконечных вправо, мы будем обозначать <math>\Omega^+</math>. 

1.  (a) Найти судьбу точки <math>\frac{3}{5}</math>
 
(b) Найти точку на окружности с судьбой 010010010... 

(c) Убедиться в том, что судьба точки совпадает с двойчной записью её координаты. 

2.  Всякой ли судьбе (последовательности из <math>\Omega^+</math>) соответствует точка на окружности? 

3.  Доказать, что у разных точек разные судьбы.

4.  Указать множество точек на окружности, соответствующих последовательностям
 
<math>\omega = \omega_1...\omega_n... \in \Omega^+</math> таким, что:  

(a) <math>\omega_2 = 1, \omega_4 = 0</math>;
 
(b) <math>\omega_{i_1} = j_1, ..., \omega_{i_k} = j_k</math>;

(c) Найти суммарную длину интервалов из пункта (b) и убедиться, в том, что она зависит только от <math>k</math>.
 
5.   (а) Описать судьбы точек минимального периода <math>n</math>. 
 
(b) Доказать, что периодические точки всюду плотны.

6.  Найти точку со всюду плотной орбитой.

7.  Введём метрику в пространстве последовательностей <math>\Omega^+</math> согласно следующей формуле:

<math>dist(\omega, \omega') = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{|\omega_n - \omega'_n|}{2^n}.</math>

    Доказать, что отображение <math>h: S^1 \to \Omega^+</math>, сопоставляющее точке на орбите её судьбу, непрерывно. 

==Эргодическая теория==
 

1. Доказать, что поворот окружности <math>R_{\alpha}: x \rightarrowtail x+{\alpha}</math> (mod 1), <math>\alpha \in \mathbb{R}\backslash\mathbb{Q}</math> не является перемешиванием.

2.  ''(Закон больших чисел)''.  Пусть мы играем в орлянку, и пусть вероятность выпадения орла равна <math>\frac{1}{2}</math>, равно как и вероятность выпадения решки.  Доказать, что если <math>S_n</math> -- число выпавших орлов за <math>n</math> бросков монеты, то почти наверное (с вероятностью 1)
<math>
	\lim\limits_{n\to \infty} \frac{S_n}{n} = \frac{1}{2}.
</math>
''Указание:'' Показать сначала, что сдвиг Бернулли в пространстве последовательностей является перемешиванием, а затем воспользоваться эргодической теоремой.