Просмотр кода страницы Нормальная форма Пуанкаре — Дюлака

'''Нормальная форма Пуанкаре-Дюлака''' — [[формальная нормальная форма]] [[w:векторное поле|векторного поля]] в окрестности своей [[w:особая точка|особой точки]].

== Формулировка ==
=== Резонансы ===
По определению, '''резонансом''' для набора <math>(\lambda_1,\dots,\lambda_n)\in \C^n</math> называется равенство
<math>
\lambda_j=\langle \lambda, k\rangle \qquad (*)
</math>
где <math>k\in \Z^n, \quad k_1,\dots,k_n\ge 0, \quad k_1+\dots+k_n\ge 2</math>. 

'''Резонансным мономом''' векторного поля, линейная часть которого приведена к [[w:жорданова нормальная форма|жордановой нормальной форме]] с [[w:собственное значение|собственными значениями]] <math>\lambda_1,\dots,\lambda_n,</math> называется [[w:моном]] 
<math>
z^k\partial/\partial z_j,
</math>
где <math>z^k=z_1^{k_1}\dots z_n^{k_n},</math> и для <math>\lambda</math> и <math>k</math> выполнено (*).

=== Теорема Пуанкаре-Дюлака ===
[[w:Формальный степенной ряд|Формальное]] векторное поле с особой точкой в начале координат формально эквивалентно формальному векторному полю, линейная часть которого приведена к жордановой нормальной форме, и все ненулевые мономы резонансны.

Указанный в теореме вид называется '''резонансной формальной нормальной формой Пуанкаре-Дюлака'''.

== Связанные понятия ==
=== Области Пуанкаре и Зигеля ===
Говорят, что вектор <math>\lambda\in\C^n</math> принадлежит '''области Пуанкаре''', если ноль не лежит в выпуклой оболочке точек <math>\lambda_1,\dots,\lambda_n\in\C\sim \R^2</math>. В противном случае говорят, что он принадлежит '''области Зигеля'''. Наконец, в случае, если ноль принадлежит [[w:выпуклая оболочка|выпуклой оболочке]] вместе с некоторой своей [[w:окрестность|окрестностью]], говорят, что вектор <math>\lambda</math> принадлежит '''строгой области Зигеля'''.

В случае вектора собственных значений, принадлежащего области Пуанкаре, резонансная нормальная форма Пуанкаре-Дюлака на самом деле полиномиальна. В случае таких собственных значений, можно утверждать, что векторное поле ''[[w:аналитическая функция|аналитически]]'' эквивалентно своей резонансной ФНФ.

=== Теорема Левелля ===
[[Теорема Левелля]], описывающая резонансную нормальную форму [[фуксова особая точка|фуксовой особой точки]]
<math>\dot{z}=\frac{A(t)}{t} z,</math>
может рассматриваться как линейный по <math>z</math> вариант нормальной формы Пуанкаре-Дюлака для расширенной системы
<math>
\left\{\begin{array}{l}
\dot{z}=A(t)z, \\ 
\dot{t}=t.
\end{array}
\right.
</math>

== Литература ==
* В. И. Арнольд, Ю. С. Ильяшенко, «Обыкновенные дифференциальные уравнения», Динамические системы — 1, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Фундам. направления, 1, ВИНИТИ, М., 1985, 7-140.
* Yu. Ilyashenko, S. Yakovenko, Lectures on Analytic Differential Equations.

[[Category:Энциклопедия]]